. اعداد اول:
عدد اول (به انگلیسی: Prime number) عددی طبیعی (Natural number) است که بر هیچ عددی بجز خود و عدد ۱ بخش‌پذیر نباشد. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ۱ اول نباشد مرکب است. علامت اختصاری این اعداد است.
رقم یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است ارقام ۱، ۳، ۷، و ۹ باشد.
پیدا کردن ضابطه‌ای جبری برای اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها دست نیافته است.
دنبالهٔ اعداد اول به این صورت شروع می‌شود:
۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹، ۲۳، ۲۹، ۳۱، ۳۷، ۴۱، ۴۳، ۴۷، ۵۳، ۵۹، ۶۱، ۶۷، ۷۱، ۷۳، ۷۹، ۸۳، ۸۹، ۹۷، ۱۰۱، ۱۰۳، ۱۰۷، ۱۰۹، ۱۱۳، ۱۲۷، ۱۳۱، ۱۳۷، ۱۳۹.
قضیه‌ها
· قضیه ۱: تعداد اعداد اول بی‌نهایت است. به این اثبات دقت کنیداز برهان خلف استفاده می کنیم:فرض خلف : اعداد اول متناهی است.اعداد اول را در هم ضرب می کنیم.P1,P2,P3,...,Pnضرب اعداد از Pi بزرگ‌تراست.که عدد ۱ جزو اعداد اول نیست پس به تناقض می رسیم و فرض خلف باطل است. اعداد اول نامتناهی هستند.
· قضیه ۲ (قضیه اساسی حساب): هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ را می‌توان به شکل حاصل‌ضرب اعدادی اول نوشت.
· قضیه ۳ (قضیه چبیشف):اگر n عددی طبیعی و بزرگ‌تر از ۳ باشد، حتما" بین n و ۲n عدد اولی وجود دارد.
· قضیه ۴ هر عدد زوج را می‌توان بصورت جمع دو عدد اول نوشت.
· قضیه ۵. هر عدد فرد (شامل اعداد اول) را می‌توان به صورت جمع سه عدد اول نوشت (اثبات بر پایه قضیه ۴)
· قضیه ۶-هر عدد فرد را می‌توان به صورت دو برابر یک عدد اول بعلاوه یک عدد اول دیگر نوشت.
خواص اعداد اول
1-مجذور هر عدد اول برابر است با ۲۴n+۱.
کشف و محاسبه
بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان 43میلیون و 112هزار و 609منهای یک است.این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر ۲ به توان n منهای یک استگ گروه محاسباتی سراوان دیتا که یک گروه محاسباتی ارانی می‌باشد که در زمینه‌های مختلف محاسباتی از جمله اعداد اول فعالیت می‌کند اعداد بسیاری را کشف و محاسبه کرده از جمله تمام اعداد اول یک تا دویست میلیون که از لینک زیر قابل دانلود می‌باشند تمام اعداد اول یک تا دویست میلیون
جایزه‌ها برای پیدا کردن اعداد اول
موسسه Electronic Frontier Foundation جایزه‌ای به مبلغ صدهزار دلار برای اولین کسی که یک عدد اول با حداقل 10 میلیون رقم پیدا کند در نظر گرفته است.همچنین مبلغ 150 هزار دلار برای کسی که یک عدد اول با 100 میلیون رقم و 250 هزار دلار برای 1 میلیارد رقم در نظر گرفته شده است.این موسسه ممکن است مبلغ 100 هزار دلار برای دپارتمان ریاضی دانشگاه UCLA که موفق به کشف یک عدد اول 13 میلیون رقمی شدند پرداخت کند.
الگوهای توزیع اعداد اول
یکی از مسائل مورد توجه ریاضی‌دانان، چگونگی توزیع و ترتیب قرارگرفتن اعداد اول درون رشته اعداد طبیعی است. این چگونگی دارای الگوهایی است که یکی از آنها به «الگوی پیشرفت عددی» معروف است.
مثلاً اگر به عدد ۵ که عددی اول است، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۱ و اگر به ۱۱، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۷ و اگر دوباره اضافه کنیم، به ۲۳ و ۲۹ می‌رسیم که همگی اعدادی اولند. اما با اضافه کردن ۶ واحد دیگر به ۳۵ می‌رسیم که عددی اول نیست و الگو متوقف می‌گردد.
مسئله مورد توجه اینست که در هر الگوی پیشرفت چند عدد اول پیش از رسیدن به اولین عدد غیر اول، بدست می‌آیند؟ طولانی ترین رشته‌ای که تاکنون بدست آمده، ۲۲ عدد اول را شامل است. اولین عدد اول این رشته ۱۱۴۱۰۳۳۷۸۵۰۵۵۳ بوده که اگر عدد ۴۶۰۹۰۹۸۶۹۴۲۰۰ به آن اضافه شود عدد اول بعدی بوجود می‌آید و می‌توان ۲۲ بار عدد مذکور را به اعداد اول مرحله قبل افزود و عدد اولی جدید بدست آورد. دو ریاضی‌دان اثبات کرده‌اند برای هر رشته از اعداد اول می‌توان به یک رشته عددی رسید
. :اعداد صحیح
مجموعهٔ اعداد صحیح به اجتماع مجموعهٔ اعداد طبیعی، قرینهٔ اعداد طبیعی ، و {0} (مجموعه ای که تنها عدد صفر عضو آن است) گفته می‌شود. در ریاضیّات، معمولاً این مجموعه را با Z (ابتدای کلمه آلمانی Zahlen به معنی اعداد) نشان می‌دهند. همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یک مجموعهٔ شمارای نامتناهی‌ست.شاخه‌ای از ریاضیّات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می‌پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد
همانند اعداد طبیعی،Z نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. بر خلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحيح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به Zتعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اماZ تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوما عددی صحیح نخواهد بود.
برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا b ،a، و c اعداد صحیح دل‌خواه هستند:)
جمع
ضرب
بسته بودن:
a + b یک عدد صحیح است
a × b یک عدد صحیح است
شرکت‌پذیری:
a + (b + c) = (a + b) + c
a × (b × c) = (a × b) × c
تعویض‌پذیری:
a + b = b + a
a × b = b × a
وجود یک عنصر واحد:
a + 0 = a
a × 1 = a
وجود یک عنصر عکس:
a + (−a) = 0
توزیع‌پذیری:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
نداشتن مقسوم علیه‌های صفر:
اگر ab = 0، آنگاه a = 0 یا b = 0
مطابق جدول بالا، خواصّ بسته بودن، شرکت‌پذیری و جابه‌جایی (یا تعویض‌پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو معکوس فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت توزیع‌پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردار اند.
در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می‌دهد که مجموعهٔ Zبه همراه عمل جمع یک گروه آبلی است. امّا، از آن جا کهZ نسبت به ضرب عضو وارون (یا معکوس) ندارد، مجموعهٔ اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، گروه نمی‌سازد.
مجموعهٔ ویژگیهای ذکر شده حاکی از این است که Z، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقه است، امّا، به دلیل نداشتن وارون ضربی، میدان نیست. مجموعهٔ اعداد گویا را باید کوچک‌ترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر می‌گیرد.
اگرچه تقسیم معمولی در اعداد صحیح تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که به الگوریتم تقسیم مشهور است. یعنی به ازاء هر دو عدد صحیح و دل‌خواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعه اعداد صحیح وجود دارد، به طوریکه: a = q.b + r که در این جا، q خارج قسمت و r باقیمانده تقسیم a بر b است. این کار اساس الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک را تشکیل می‌دهد.
همچنین در جبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد، Zیک دامنه اقلیدسی است و در نتیجهZ دامنه ایده‌آل اصلی می‌باشد و هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک را می‌توان به طور یکتا به حاصل‌ضرب اعداد اوّل تجزیه کرد (قضیه اساسی علم حساب.)
مجموعهٔ اعداد صحیح به اجتماع مجموعهٔ اعداد طبیعی، قرینهٔ اعداد طبیعی ، و {0} (مجموعه ای که تنها عدد صفر عضو آن است) گفته می‌شود. در ریاضیّات، معمولاً این مجموعه را با Z (ابتدای کلمه آلمانی Zahlen به معنی اعداد) نشان می‌دهند. همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یک مجموعهٔ شمارای نامتناهی‌ست.شاخه‌ای از ریاضیّات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می‌پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد
همانند اعداد طبیعی،Z نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. بر خلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحيح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به Zتعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اماZ تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوما عددی صحیح نخواهد بود.
برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا b ،a، و c اعداد صحیح دل‌خواه هستند:)
جمع
ضرب
بسته بودن:
a + b یک عدد صحیح است
a × b یک عدد صحیح است
شرکت‌پذیری:
a + (b + c) = (a + b) + c
a × (b × c) = (a × b) × c
تعویض‌پذیری:
a + b = b + a
a × b = b × a
وجود یک عنصر واحد:
a + 0 = a
a × 1 = a
وجود یک عنصر عکس:
a + (−a) = 0
توزیع‌پذیری:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
نداشتن مقسوم علیه‌های صفر:
اگر ab = 0، آنگاه a = 0 یا b = 0
مطابق جدول بالا، خواصّ بسته بودن، شرکت‌پذیری و جابه‌جایی (یا تعویض‌پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو معکوس فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت توزیع‌پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردار اند.
در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می‌دهد که مجموعهٔ Zبه همراه عمل جمع یک گروه آبلی است. امّا، از آن جا کهZ نسبت به ضرب عضو وارون (یا معکوس) ندارد، مجموعهٔ اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، گروه نمی‌سازد.
مجموعهٔ ویژگیهای ذکر شده حاکی از این است که Z، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقه است، امّا، به دلیل نداشتن وارون ضربی، میدان نیست. مجموعهٔ اعداد گویا را باید کوچک‌ترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر می‌گیرد.
اگرچه تقسیم معمولی در اعداد صحیح تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که به الگوریتم تقسیم مشهور است. یعنی به ازاء هر دو عدد صحیح و دل‌خواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعه اعداد صحیح وجود دارد، به طوریکه: a = q.b + r که در این جا، q خارج قسمت و r باقیمانده تقسیم a بر b است. این کار اساس الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک را تشکیل می‌دهد.
همچنین در جبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد، Zیک دامنه اقلیدسی است و در نتیجهZ دامنه ایده‌آل اصلی می‌باشد و هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک را می‌توان به طور یکتا به حاصل‌ضرب اعداد اوّل تجزیه کرد (قضیه اساسی علم حساب.)
. کمیت:
کَمّیَت یا چَندی در لغت به معنای مقدار می‌باشد و معمولاً در برابر واژهٔ کیفیت به کار می‌رود.در فیزیک هر چه که قابل اندازه گیری باشد ، کمیت و در مقابل ، هرچه که نتوان اندازه گیری کرد کیفیت نامیده می شود. کمیت را می‌توان با یک عدد نشان داد و برای تعیین این مقدار نیاز به واحد (یکا) آن کمیت داریم.کمیت و کیفیت را در فارسی چند و چون نیز می‌گویند.
که شامل:
1. مجموعه:
از آگزیوم (اصول تعریف‌ناپذیر) در ریاضیات است.
به هر گردایه یا دستهٔ مشخص از اشیاء دو به دو متمایز گفته می‌شود. مفهوم مجموعه با وجود سادگی آن از مفاهیم پایه‌ای ریاضی است.
نظریه مجموعه در اواخر سده ۱۹ مطرح شد و اکنون یکی از بخش‌های اصلی آموزش ریاضیات است.
مجموعه گردایه‌ای از اشیاء متمایز است. این اشیاء، عضو‌ها یا عناصر مجموعه نامیده می‌شود. اعضای یک مجموعه ممکن است هر چیزی باشد. مثلاً اعداد، افراد، حروف الفبا، مجموعه‌ای از حقایق مجموعه‌های دیگر و جز اینها، بنابر این منظور از اشیاء در تعریف مجموعه لزوماً اشیاء مادی نیست بلکه هر نهادی را هرچند انتزاعی و کاملاً ذهنی (همچون اعداد) می‌توان در ریاضیات یک شیء دانست و گردایه آن اشیاء را مجموعه‌ای دانست.
معمولاً مجموعه‌ها را با حروف بزرگ لاتین مانند A، B،C نشان می‌دهیم. دو مجموعه Aو B برابر هستند اگر اعضای آن یکسان باشند.
تعریف هر مجموعه
یک مجموعه را می‌توان با عباراتی به شکل زیر تعریف کرد:
· Aمجموعه نخستین ۴ عدد طبیعی است.
· B مجموعه‌ای است که اعضای آن رنگ‌های پرچم ایران است.
همچنین می‌توانیم اعضای مجموعه را میان دو کروشه قرار دهیم:
· {۱,۲,۳,۴} = C
· {سبز، سفید، قرمز} = D
البته دو تعریف گوناگون؛ هر دو می‌توانند نشان دهنده یک مجموعه باشند. مثلاً برای مجموعه‌هایی که در بالا تعریف کردیم، Aو C یکسان هستند زیرا عناصرشان با هم برابر است (A=C). همچنین به طور مشابه B = D . توجه کنید که در یک مجموعه، جابه جایی عناصر و نوشتن اعضای تکراری تأثیری در خواص مجموعه ندارد. به عنوان مثال:
{۱۱,۶}={۶,۱۱}={۶,۱۱,۶,۶}
حال فرض کنید E مجموعه نخستین هزار عدد طبیعی باشد. برای نمایش چنین مجموعه‌های بزرگ (که تعداد اعضای آنها زیاد است)، نوشتن همه عناصر مجموعه غیرعملی است. بنابراین Eرا به طور خلاصه به این شکل نمایش می‌دهیم:{۱۰۰۰,...,۱,۲,۳} = E
معمولاً این شکل نوشتن برای مجموعه‌هایی به کار می‌رود که اعضای آن الگوی مشخصی را دنبال می‌کنند که برای همه واضح است. اما در مجموعه‌هایی مانند{۴-,۳-,۰,...,۳۵۷ }=F به راحتی نمی‌توان تشخیص داد که "F مجموعه نخستین ۲۰ عددی است که چهار واحد کمتر از مربع عدد دیگری ست". در چنین مواردی برای نمایش اعضای مجموعه از علائم ریاضی استفاده می‌کنیم:
F ={n^۲-۴: 0 <= n <= ۱۹} , nЄN
یعنی: F مجموعه اعدادی به شکل n^۲-۴ است به طوریکه n به اعداد طبیعی بین ۰ و ۱۹ تعلق دارد.
کَمّیَت یا چَندی در لغت به معنای مقدار می‌باشد و معمولاً در برابر واژهٔ کیفیت به کار می‌رود.در فیزیک هر چه که قابل اندازه گیری باشد ، کمیت و در مقابل ، هرچه که نتوان اندازه گیری کرد کیفیت نامیده می شود. کمیت را می‌توان با یک عدد نشان داد و برای تعیین این مقدار نیاز به واحد (یکا) آن کمیت داریم.کمیت و کیفیت را در فارسی چند و چون نیز می‌گویند.
که شامل:
1. مجموعه:
از آگزیوم (اصول تعریف‌ناپذیر) در ریاضیات است.
به هر گردایه یا دستهٔ مشخص از اشیاء دو به دو متمایز گفته می‌شود. مفهوم مجموعه با وجود سادگی آن از مفاهیم پایه‌ای ریاضی است.
نظریه مجموعه در اواخر سده ۱۹ مطرح شد و اکنون یکی از بخش‌های اصلی آموزش ریاضیات است.
مجموعه گردایه‌ای از اشیاء متمایز است. این اشیاء، عضو‌ها یا عناصر مجموعه نامیده می‌شود. اعضای یک مجموعه ممکن است هر چیزی باشد. مثلاً اعداد، افراد، حروف الفبا، مجموعه‌ای از حقایق مجموعه‌های دیگر و جز اینها، بنابر این منظور از اشیاء در تعریف مجموعه لزوماً اشیاء مادی نیست بلکه هر نهادی را هرچند انتزاعی و کاملاً ذهنی (همچون اعداد) می‌توان در ریاضیات یک شیء دانست و گردایه آن اشیاء را مجموعه‌ای دانست.
معمولاً مجموعه‌ها را با حروف بزرگ لاتین مانند A، B،C نشان می‌دهیم. دو مجموعه Aو B برابر هستند اگر اعضای آن یکسان باشند.
تعریف هر مجموعه
یک مجموعه را می‌توان با عباراتی به شکل زیر تعریف کرد:
· Aمجموعه نخستین ۴ عدد طبیعی است.
· B مجموعه‌ای است که اعضای آن رنگ‌های پرچم ایران است.
همچنین می‌توانیم اعضای مجموعه را میان دو کروشه قرار دهیم:
· {۱,۲,۳,۴} = C
· {سبز، سفید، قرمز} = D
البته دو تعریف گوناگون؛ هر دو می‌توانند نشان دهنده یک مجموعه باشند. مثلاً برای مجموعه‌هایی که در بالا تعریف کردیم، Aو C یکسان هستند زیرا عناصرشان با هم برابر است (A=C). همچنین به طور مشابه B = D . توجه کنید که در یک مجموعه، جابه جایی عناصر و نوشتن اعضای تکراری تأثیری در خواص مجموعه ندارد. به عنوان مثال:
{۱۱,۶}={۶,۱۱}={۶,۱۱,۶,۶}
حال فرض کنید E مجموعه نخستین هزار عدد طبیعی باشد. برای نمایش چنین مجموعه‌های بزرگ (که تعداد اعضای آنها زیاد است)، نوشتن همه عناصر مجموعه غیرعملی است. بنابراین Eرا به طور خلاصه به این شکل نمایش می‌دهیم:{۱۰۰۰,...,۱,۲,۳} = E
معمولاً این شکل نوشتن برای مجموعه‌هایی به کار می‌رود که اعضای آن الگوی مشخصی را دنبال می‌کنند که برای همه واضح است. اما در مجموعه‌هایی مانند{۴-,۳-,۰,...,۳۵۷ }=F به راحتی نمی‌توان تشخیص داد که "F مجموعه نخستین ۲۰ عددی است که چهار واحد کمتر از مربع عدد دیگری ست". در چنین مواردی برای نمایش اعضای مجموعه از علائم ریاضی استفاده می‌کنیم:
F ={n^۲-۴: 0 <= n <= ۱۹} , nЄN
یعنی: F مجموعه اعدادی به شکل n^۲-۴ است به طوریکه n به اعداد طبیعی بین ۰ و ۱۹ تعلق دارد.
. کمیت:
کَمّیَت یا چَندی در لغت به معنای مقدار می‌باشد و معمولاً در برابر واژهٔ کیفیت به کار می‌رود.در فیزیک هر چه که قابل اندازه گیری باشد ، کمیت و در مقابل ، هرچه که نتوان اندازه گیری کرد کیفیت نامیده می شود. کمیت را می‌توان با یک عدد نشان داد و برای تعیین این مقدار نیاز به واحد (یکا) آن کمیت داریم.کمیت و کیفیت را در فارسی چند و چون نیز می‌گویند.
که شامل:
1. مجموعه:
از آگزیوم (اصول تعریف‌ناپذیر) در ریاضیات است.
به هر گردایه یا دستهٔ مشخص از اشیاء دو به دو متمایز گفته می‌شود. مفهوم مجموعه با وجود سادگی آن از مفاهیم پایه‌ای ریاضی است.
نظریه مجموعه در اواخر سده ۱۹ مطرح شد و اکنون یکی از بخش‌های اصلی آموزش ریاضیات است.
مجموعه گردایه‌ای از اشیاء متمایز است. این اشیاء، عضو‌ها یا عناصر مجموعه نامیده می‌شود. اعضای یک مجموعه ممکن است هر چیزی باشد. مثلاً اعداد، افراد، حروف الفبا، مجموعه‌ای از حقایق مجموعه‌های دیگر و جز اینها، بنابر این منظور از اشیاء در تعریف مجموعه لزوماً اشیاء مادی نیست بلکه هر نهادی را هرچند انتزاعی و کاملاً ذهنی (همچون اعداد) می‌توان در ریاضیات یک شیء دانست و گردایه آن اشیاء را مجموعه‌ای دانست.
معمولاً مجموعه‌ها را با حروف بزرگ لاتین مانند A، B،C نشان می‌دهیم. دو مجموعه Aو B برابر هستند اگر اعضای آن یکسان باشند.
تعریف هر مجموعه
یک مجموعه را می‌توان با عباراتی به شکل زیر تعریف کرد:
· Aمجموعه نخستین ۴ عدد طبیعی است.
· B مجموعه‌ای است که اعضای آن رنگ‌های پرچم ایران است.
همچنین می‌توانیم اعضای مجموعه را میان دو کروشه قرار دهیم:
· {۱,۲,۳,۴} = C
· {سبز، سفید، قرمز} = D
البته دو تعریف گوناگون؛ هر دو می‌توانند نشان دهنده یک مجموعه باشند. مثلاً برای مجموعه‌هایی که در بالا تعریف کردیم، Aو C یکسان هستند زیرا عناصرشان با هم برابر است (A=C). همچنین به طور مشابه B = D . توجه کنید که در یک مجموعه، جابه جایی عناصر و نوشتن اعضای تکراری تأثیری در خواص مجموعه ندارد. به عنوان مثال:
{۱۱,۶}={۶,۱۱}={۶,۱۱,۶,۶}
حال فرض کنید E مجموعه نخستین هزار عدد طبیعی باشد. برای نمایش چنین مجموعه‌های بزرگ (که تعداد اعضای آنها زیاد است)، نوشتن همه عناصر مجموعه غیرعملی است. بنابراین Eرا به طور خلاصه به این شکل نمایش می‌دهیم:{۱۰۰۰,...,۱,۲,۳} = E
معمولاً این شکل نوشتن برای مجموعه‌هایی به کار می‌رود که اعضای آن الگوی مشخصی را دنبال می‌کنند که برای همه واضح است. اما در مجموعه‌هایی مانند{۴-,۳-,۰,...,۳۵۷ }=F به راحتی نمی‌توان تشخیص داد که "F مجموعه نخستین ۲۰ عددی است که چهار واحد کمتر از مربع عدد دیگری ست". در چنین مواردی برای نمایش اعضای مجموعه از علائم ریاضی استفاده می‌کنیم:
F ={n^۲-۴: 0 <= n <= ۱۹} , nЄN
یعنی: F مجموعه اعدادی به شکل n^۲-۴ است به طوریکه n به اعداد طبیعی بین ۰ و ۱۹ تعلق دارد.
کَمّیَت یا چَندی در لغت به معنای مقدار می‌باشد و معمولاً در برابر واژهٔ کیفیت به کار می‌رود.در فیزیک هر چه که قابل اندازه گیری باشد ، کمیت و در مقابل ، هرچه که نتوان اندازه گیری کرد کیفیت نامیده می شود. کمیت را می‌توان با یک عدد نشان داد و برای تعیین این مقدار نیاز به واحد (یکا) آن کمیت داریم.کمیت و کیفیت را در فارسی چند و چون نیز می‌گویند.
که شامل:
1. مجموعه:
از آگزیوم (اصول تعریف‌ناپذیر) در ریاضیات است.
به هر گردایه یا دستهٔ مشخص از اشیاء دو به دو متمایز گفته می‌شود. مفهوم مجموعه با وجود سادگی آن از مفاهیم پایه‌ای ریاضی است.
نظریه مجموعه در اواخر سده ۱۹ مطرح شد و اکنون یکی از بخش‌های اصلی آموزش ریاضیات است.
مجموعه گردایه‌ای از اشیاء متمایز است. این اشیاء، عضو‌ها یا عناصر مجموعه نامیده می‌شود. اعضای یک مجموعه ممکن است هر چیزی باشد. مثلاً اعداد، افراد، حروف الفبا، مجموعه‌ای از حقایق مجموعه‌های دیگر و جز اینها، بنابر این منظور از اشیاء در تعریف مجموعه لزوماً اشیاء مادی نیست بلکه هر نهادی را هرچند انتزاعی و کاملاً ذهنی (همچون اعداد) می‌توان در ریاضیات یک شیء دانست و گردایه آن اشیاء را مجموعه‌ای دانست.
معمولاً مجموعه‌ها را با حروف بزرگ لاتین مانند A، B،C نشان می‌دهیم. دو مجموعه Aو B برابر هستند اگر اعضای آن یکسان باشند.
تعریف هر مجموعه
یک مجموعه را می‌توان با عباراتی به شکل زیر تعریف کرد:
· Aمجموعه نخستین ۴ عدد طبیعی است.
· B مجموعه‌ای است که اعضای آن رنگ‌های پرچم ایران است.
همچنین می‌توانیم اعضای مجموعه را میان دو کروشه قرار دهیم:
· {۱,۲,۳,۴} = C
· {سبز، سفید، قرمز} = D
البته دو تعریف گوناگون؛ هر دو می‌توانند نشان دهنده یک مجموعه باشند. مثلاً برای مجموعه‌هایی که در بالا تعریف کردیم، Aو C یکسان هستند زیرا عناصرشان با هم برابر است (A=C). همچنین به طور مشابه B = D . توجه کنید که در یک مجموعه، جابه جایی عناصر و نوشتن اعضای تکراری تأثیری در خواص مجموعه ندارد. به عنوان مثال:
{۱۱,۶}={۶,۱۱}={۶,۱۱,۶,۶}
حال فرض کنید E مجموعه نخستین هزار عدد طبیعی باشد. برای نمایش چنین مجموعه‌های بزرگ (که تعداد اعضای آنها زیاد است)، نوشتن همه عناصر مجموعه غیرعملی است. بنابراین Eرا به طور خلاصه به این شکل نمایش می‌دهیم:{۱۰۰۰,...,۱,۲,۳} = E
معمولاً این شکل نوشتن برای مجموعه‌هایی به کار می‌رود که اعضای آن الگوی مشخصی را دنبال می‌کنند که برای همه واضح است. اما در مجموعه‌هایی مانند{۴-,۳-,۰,...,۳۵۷ }=F به راحتی نمی‌توان تشخیص داد که "F مجموعه نخستین ۲۰ عددی است که چهار واحد کمتر از مربع عدد دیگری ست". در چنین مواردی برای نمایش اعضای مجموعه از علائم ریاضی استفاده می‌کنیم:
F ={n^۲-۴: 0 <= n <= ۱۹} , nЄN
یعنی: F مجموعه اعدادی به شکل n^۲-۴ است به طوریکه n به اعداد طبیعی بین ۰ و ۱۹ تعلق دارد.
تابع:
تابع، یکی از مفاهیم نظریه مجموعه‌ها و حساب دیفرانسیل و انتگرال است. بطور ساده می‌توان گفت که به هنجار(قاعده)های تناظری که به هر ورودی خود یک، و فقط یک، خروجی نسبت می‌دهند، تابع گفته می‌شود.
تابع را می‌توان به عنوان هنجاری خاص برای تناظر بین اعضای دو مجموعهٔ دامنه و برد تعریف کرد. به بیان دقیق‌تر، اگر A و B دو مجموعه باشند، یک تابع از مجموعهٔ A به مجموعهٔ B را می‌توان هنجاری تعریف کرد که به هر عضو مجموعه A چون a یک و فقط یک عضو از مجموعه B را چون (f(a نسبت می‌دهد. تابع f از مجموعه A به مجموعه B را با نشان می‌دهیم.
تابع f به عنوان هنجار تناظر، چیزی بجز توصیف نحوه تناظر اعضای A به B نیست که به طور کامل به‌وسیله همه زوجهای مرتب ((a,f(a) برای هر a∈A مشخص می‌شود پس تابع f را می‌توان به عنوان مجموعه همه این زوجهای مرتب، یعنی مجموعه همه زوجهای مرتبی که مولفه اول آنها عضو A بوده و مولفه دوم آنها تصویر مولفه اول تحت تابع f است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابع f دارای مولفه اول یکسان نخواهند بود.
در این صورت در تابع f:A→B برای هر a∈A گزاره a,b)∈f) را به صورت (b=f(a نشان می‌دهیم.
تعریف دقیق
یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y رابطه‌ای چون f از مجموعه X به مجموعه Y است که دارای شرایط زیر باشد:
1. دامنه f مجموعه X باشد، یعنی domf=X.
2. برای هر x∈X عنصر یگانه y∈Y موجود باشد که x,y)∈f) یا به عبارتی هیچ دو زوج مرتب متمایزی متعلق به f دارای مولفه اول یکسان نباشند. شرط یگانگی را به طور صریح می‌توان یه این صورت فرمول بندی کرد که اگر x,y)∈f) و x,z)∈f) آنگاه y=z.
علامت‌ها
برای هر x∈X یگانه عضو y در Y که به ازای آن x,y)∈f) را با (f(x نشان می‌دهیم. در مورد تابع این علامت گذاری، سایر علامت گذاری‌هایی را که در مورد روابط کلی تر استفاده می‌شوند چون x,y)∈f) یا xfy را متروک ساخته‌است. از این پس اگر f یک تابع باشد، بجای x,y)∈f) یا xfy می‌نویسیم (y=f(x. عضو y را مقدار تابع به ازای متغیر یا شناسه x، یا تصویر x تحت f می‌گوییم و نیز x را پیش نگاره y می‌گوییم.
اگر f تابعی از مجموعه X به(در یا به توی) مجموعه Y باشد، این مطلب را به صورت سه تایی (f,X,Y) یا به طور معمول تر برای توابع با f:X→Y نشان می‌دهیم.
مشخص کردن تابع
برای مشخص کردن یک تابع باید دامنه و ضابطه آن را بشناسیم. منظور از ضابطه یک تابع f:X→Y، فرمول و یا دستوری است که برطبق آن برای هر x∈X، مقدار تابع f در x یعنی (f(x تعیین می‌شود. ضابطه تابع را می‌توان به صورت یک گزاره جبری، مجموعه‌ای از زوجهای مرتب یا یک رابطه بازگشتی مشخص کرد.
به این ترتیب برای مشخص کردن یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y می‌نویسیم f:X→Y و سپس ضابطه آن را ذکر می‌کنیم.
در مواقعی که بیم ابهام نرود دامنه تابع ذکر نشده و به ذکر ضابطه تابع بسنده می‌شود. مثلاً عرف بر این است که در حساب دیفرانسیل و انتگرال دامنه توابع در صورت ذکر نشدن اعداد حقیقی یا بازه‌ای از اعداد حقیقی باشد.
برای نمایش بهتر، تابع را که خود یک هنجار (قاعده) برای تناظر است با f نشان می‌دهیم و ورودی یا شناسهٔ این تابع را با x نشان می‌دهیم که ممکن است عدد هم نباشد. یگانه مقدار خروجی که هنجار f به ورودی x نسبت می‌دهد را بجای y این‌بار با (f(x نشان می‌دهیم و آن را مقدار تابع f در x یا تصویر x تحت تابع f می‌گوییم. همچنین از این پس به هنجاری(قاعده‌ای) که هر x را به (y=f(x نسبت می‌دهد ضابطه تابع می‌گوییم.
نباید تابع را با ضابطهٔ آن اشتباه کرد. به عنوان مثال در مثال بالا f معرف خود تابع و گزاره (f(x معرف ضابطه تابع است.
دامنه و برد تابع
یک تابع f از مجموعه X به توی مجموعه Y را به عنوان نوعی رابطه از مجموعه X به Y تعریف کردیم. مفاهیم دامنه (تابع) و برد همانگونه که برای روابط در حالت کلی قابل تعریف‌اند، به طریق اولی برای تابع f نیز قابل تعریف خواهند بود. بنا به تعریف دامنه تابع f که با domf نموده می‌شود، همان مجموعه X است. برد تابع f نیز مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند. برد تابع f را با ranf یا Imf نشان می‌دهیم
اما همانطور که در گذشته نیز اشاره شد و از تعریف فوق نیز قابل برداشت است، برد f در حالت کلی لزوماً برابر مجموعه Y نمی‌باشد بلکه زیرمجموعه‌ای از آن است. برای تمایز بین مجموعه Y و برد تابع f به مجموعه Y همدامنه تابع f می‌گویند و آن را با codomf نشان می‌دهیم و بنا بر آنچه گفته شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدامنه‌اش هست.
به عنوان مثال فرض کنید {X={۱٬۲٬۳ و {Y={a,b,c,d و تابع f:X→Y به صورت {(f={(۱,a),(۲,b),(۳,c تعریف شده باشد. وضوحاً دامنه این تابع مجموعه X است(می‌توان برای تعیین آن مجموعه همه مولفه‌های اول زوجهای مرتب f را در نظر گرفت) ولی برد آن بنابه تعریف مجموعه {a,b,c} است که آشکارا زیرمجموعه حقیقی Y است.(یعنی زیرمجموعه آن است ولی با آن برابر نمی‌باشد)
در حقیقت برد تابع f مجموعه همه مولفه‌های دوم زوج مرتب‌های f است. مجموعه همه عناصری از Y که به ازای یکx∈X داشته باشیم (y=f(x.
تساوی دو تابع
فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند. در این صورت تساوی f=g، تساوی بین دو مجموعه است و لذا f=g اگر و فقط اگر اعضای f و g یکسان باشند. یا به عبارتی دو تابع f و g با هم برابرند اگر و تنها اگر دامنه‌شان با هم برابر باشد و برای هر x از دامنه مشترکشان، (f(x)=g(x.
تحدید و توسیع
فرض کنید f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت یک روش برای ساختن تابعی چون g از مجموعه A به مجموعه Y این است که برای هر g(x)، x∈A را مساوی (f(x تعریف کنیم. یعنی تابع g:A→Y با ضابطه (g(x)=f(x. بر خواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. ممکن است راه دیگری نیز برای بیان این مطلب بیابیم و آن این است که دامنه تابع f را به زیرمجموعه A از X تقلیل دهیم. در این صورت تابعی خواهیم داشت که این بار نه بر روی همه اعضای X بلکه فقط بر روی عناصر زیرمجموعه خاصی از X یعنی A اثر می‌کند و لذا دامنه آن از X به A تغییر می‌یابد. چنین تابعی را که همان g است تحدید تابع f به مجموعه A می‌گوییم و آن را با f|A یا f|A نشان می‌دهیم. با این نمادگذاری داریم g=f|A. همچنین تابع f را توسیع تابع g به مجموعه X می‌گوییم.
بنابراین مفاهیم تحدید و توسیع دو مفهوم متقابل به هم می‌باشند. تحدید یک تابع به زیرمجموعه‌ای از دامنه خود همواره یک تابع است اما توسیع دامنه یک تابع به یک مجموعه جدید که دامنه تابع قبل زیرمجموعه‌ای از آن است همواره تابع نمی‌باشد ولذا در مورد توسیع توابع احتیاط بیشتری لازم است. به طور کلی اگر f:A→Y یک تابع باشد توسیع تابع f به مجموعه X تابعی چون g با دامنه X است، به طوری که تحدید g به مجموعه A برابر تابع f باشد یعنی g|A=f.
هچنین می‌توان همدامنه یک تابع را نیز تحدید کرد البته در این کار احتیاط لازم است، چراکه نباید اعضایی را که متعلق به برد تابع است را حذف نمود. اما اگر f:X→Y یک تابع باشد، با تحدید Y به (f(X که همان برد تابع f است می‌توان تابع (f:X→f(X را تشکیل داد که پوشا نیز هست.
تصویر و تصویر معکوس
اگر f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد، ممکن است بخواهیم مجوعه‌ای را در نظر بگیریم که عناصر آن تصویر عناصر A تحت f می‌باشند. یعنی مجموعه‌ای که از تأثیر تابع f روی هر عضو مجموعه A حاصل می‌شود. چنین مجموعه‌ای را تصویر یا نگاره A تحت تابع f می‌گوییم و آن را با (f(A نشان می‌دهیم.بنابر این (y∈f(A اگر وفقط اگر به ازای y= f(x)، x∈A
به عنوان مثال اگر {X={۱٬۲٬۳٬۴٬۵ و {Y={a,b,c,d,e و f:X→Y به صورت:
{(f={(۱,a),(۲,b),(۳,c),(۴,d),(۵,d
تعریف شود و زیرمجموعه A از X به صورت {A={۱٬۳٬۴ در نظر گرفته شود در این صورت:
{f(A)={f(۱),f(۳),f(۴)}={a,c,d
حال چون X نیز یک زیرمجموعه‌ای از خودش است می‌توان (f(X را نیز تشکیل داد، که در این صورت بنا به تعریف داریم:
که عبارت است از مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند که بنابه تعریف همان برد تابع f یعنی ranf است. به این ترتیب برد f را می‌توان تصویر X تحت تابع f تعریف کرد.
اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای
بسیار اتفاق می‌افتند که مقدار یک تابع در سراسر دامنه‌اش با یک ضابطه مشخص نمی‌شود مثلاً ممکن است دامنه تابع f که آن را X می‌نامیم را به n مجموعه X۱,X۲,X۳,...,Xn افراز کنیم و تابع f با دامنه X را برای هر x∈Xi به صورت (f(x)=fi(x تعریف کنیم که در آن fi تابعی با دامنه Xi است.در این صورت f را تابعی با n ضابطه می‌گوییم.
در مثالی دیگر فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند که برای هر x متعلق به اشتراک X و Y (اشتراک دامنه f,g) داشته باشیم (f(x)=g(x برخواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. این مفهوم را می‌توان گسترش داد یعنی اگر خانواده‌ای از مجموعه‌های دو به دو جدا از هم باشد و برای هر fi,i∈I تابعی با دامنه Ai باشد، می‌توان تابع f، اجتماع توابع fi برای هر i∈I را با دامنه را به صورت برای هر x از دامنه به صورت(f(x)=fi(x اگر x∈Ai تعریف کرد. در ادامه نمونه‌هایی از توابع چند ضابطه‌ای را خواهید دید.
نمودار تابع
شکل1. نمودار پیکانی یک تابع
منظور از نمودار یک تابع f:X→Y به تصویر کشیدن تناظری است که f بین دو مجوعه X و Y ایجاد می‌کند. برای این کار برای همه روابط و بلاخص توابع عموماً از نمودار پیکانی استفاده می‌شود. برای رسم نمودار پیکانی تابع f:X→Y، دو منحنی بسته، نظیر آنچه در نمودار ون استفاده می‌شود را برای نمایش مجموعه X و Y انتخاب می‌کنیم و عناصر هر یک را به‌وسیله نقاطی در آنها مشخص می‌کنیم. سپس بین هر عضو x∈X و (f(x یک پیکان از x به (f(x به نشانه تناظر بین آن دو رسم می‌کنیم. به عنوان مثال اگر {X={۱٬۲٬۳٬۴٬۵ و {Y={a,b,c,d,e و f:X→Y به صورت {(f={(۱,a),(۲,b),(۳,c),(۴,d),(۵,d تعریف شده باشد نمودار پیکانی آن به صورت مقابل است.
شکل ۴. نمونه‌ای از نمودار یک تابع حقیقی در دستگاه مختصات دکارتی
این روش گرچه مناسب است ولی برای نمایش همه توابع بویژه توابعی با دامنه اعداد حقیقی(و به طور کلی توابعی که عددی هستند) چندان کاربرد ندارد. اگر f تابعی با دامنه اعداد حقیقی R باشد آن را تابع حقیقی می‌گوییم و برای نمایش نمودار آن از دستگاه مختصات دکارتی استفاده می‌کنیم و روش کار به این صورت است که برای هر x∈R زوج مرتب ((x,f(x) که نماینده نقطه‌ای در صفحه دکارتی است را رسم می‌کنیم و به این ترتیب نمودار تابع f حاصل می‌شود. رسم نمودار تابع، باعث می‌شود دیدی کلی نسبت به آن تابع پیدا کنیم و همچنین بسیاری از خواص مربوط به توابع بویژه توابع حقیقی مانند پیوستگی، مشتق پذیری، نقاط بحرانی و عطف، صعودی یا نزولی بودن و... از روی نمودار آنها قابل تعیین است. به عنوان مثال با بررسی شکل (۴) می‌توان گفت این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است، این تابع در سراسر دامنه خود پیوسته و مشتق پذیر است، دارای دو نقطه بحرانی و یک نقطه عطف است و....
همچنین از روی نمودار یک رابطه می‌توان تابع بودن آن را بررسی کرد. به عنوان مثال نمودار شکل (۱) معرف یک تابع نیست، زیرا عضو ۳ به دو مقدار متناظر شده‌است. همچنین در نمودار رسم شده در دستگاه دکارتی در شکل (۵)، برای هر عدد حقیقی مثبت x دو مقدار وجود دارد. به طور کلی یک نمودار در دستگاه مختصات دکارتی یک تابع است اگر هر خط عمودی مرسوم بر محور xها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.
اگر دامنه تابع f دارای بعد n و برد آن دارای بعد m باشد،نمودار تابع f دارای بعد n+m خواهد بود.
فضای توابع
اگر X و Y دو مجوعه باشند مجموعه همه توابع از مجموعه X به مجموعه Y را با YX نشان می‌دهیم.
عدد اصلی این مجموعه را نیز می‌توان به صورت زیر بدست آورد
card(YX) = (cardY)cardX
از رابطه فوق نتیجه می‌شود اگر X مجوعه‌ای n عضوی و Y مجموعه‌ای m عضوی باشد تعداد توابع قابل تعریف از مجوعه X به مجموعه Y برابر است با mn که البته برای اثبات این مسئله خاص راه حل ترکیباتی هم وجود دارد. توضیح اینکه اگر بخواهیم تابع f:X→Y را تعریف کنیم هر عضو از n عضو مجموعه X چون x∈X، را می‌توان به m طریق به یک عضو از مجموعه Y نسبت داد. پس بنا بر اصل شمارش تعریف چنین تابعی به mn طریق ممکن خواهد بود.
توابع دو (یا چند) متغیره
عباراتی چون f(x,y) = sin(xy) یا f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 را در نظر بگیرید. هر یک از آنها دو یا بیش از دو متغیر از دامنه می‌پذیرند و یک مقدار یگانه را به آنها نسبت می‌دهند. گاهی ممکن است تابع بجای یک شناسه دو یا چند شناسه را به بپذیرد و آنها را به یک عضو از برد خود نسبت دهد، در این صورت تابع را دو یا چند متغیره می‌گوییم. چنین توابعی رابطه‌ای بین بیش از دو مجموعه هستند. به عنوان مثال تابع اول را می‌توان تابعی به صورت f:R×R→R توصیف کرد که در این صورت تابع زوج (x,y) را به عنوان شناسه خود می‌پذیرد و آن را به عضوی از R نسبت می‌دهد که در این صورت اعضای تابع f را می‌توان به صورت سه تایی ((x,y,f(x,y) نشان داد
پیشینه
تابع به عنوان مفهومی در ریاضیات، توسط گوتفرید لایبنیتس در سال ۱۶۹۴، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک منحنی مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص به وجود آمد. امروزه به توابعی که توسط لایبنیز تعریف شدند.
واژه تابع بعدها توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x۳.
در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس بیشتر خواهان به وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.
در ابتدا، ایده تابع ترجیحاً محدود شد. ژوزف فوریه مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنه خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیستند این گونه توابع توسط وایراشتراس معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق‌پذیر محدود نشوند.
تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله و لوباچوسکی هر یک به طور مستقل همزمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.
بر طبق این تعریف، تابع حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه منحصر به فرد وجود دارد.
تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوری رایانه مطالعه می‌شود.
در سایر علوم
توابع در شاخه‌های مختلف علوم کاربرد فراوان دارند. برای مثال در فیزیک، هنگامی که می‌خواهیم رابطه بین چند متغیر را بیان کنیم، مخصوصاً هنگامی که مقدار یک متغیر کاملاً وابسته به متغیرهای دیگر است از توابع استفاده می‌شود.
توابع در علوم مختلف بیشتر به عنوان عملگر در نظر گرفته می‌شوند که کاری را بر روی ورودی‌های خود انجام می‌دهند. توابع را همچنین مورد استفاده در علم رایانه برای مدل‌سازی ساختمان داده‌ها و تأثیرات الگوریتم می‌بینیم.
.
تابع، یکی از مفاهیم نظریه مجموعه‌ها و حساب دیفرانسیل و انتگرال است. بطور ساده می‌توان گفت که به هنجار(قاعده)های تناظری که به هر ورودی خود یک، و فقط یک، خروجی نسبت می‌دهند، تابع گفته می‌شود.
تابع را می‌توان به عنوان هنجاری خاص برای تناظر بین اعضای دو مجموعهٔ دامنه و برد تعریف کرد. به بیان دقیق‌تر، اگر A و B دو مجموعه باشند، یک تابع از مجموعهٔ A به مجموعهٔ B را می‌توان هنجاری تعریف کرد که به هر عضو مجموعه A چون a یک و فقط یک عضو از مجموعه B را چون (f(a نسبت می‌دهد. تابع f از مجموعه A به مجموعه B را با نشان می‌دهیم.
تابع f به عنوان هنجار تناظر، چیزی بجز توصیف نحوه تناظر اعضای A به B نیست که به طور کامل به‌وسیله همه زوجهای مرتب ((a,f(a) برای هر a∈A مشخص می‌شود پس تابع f را می‌توان به عنوان مجموعه همه این زوجهای مرتب، یعنی مجموعه همه زوجهای مرتبی که مولفه اول آنها عضو A بوده و مولفه دوم آنها تصویر مولفه اول تحت تابع f است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابع f دارای مولفه اول یکسان نخواهند بود.
در این صورت در تابع f:A→B برای هر a∈A گزاره a,b)∈f) را به صورت (b=f(a نشان می‌دهیم.
تعریف دقیق
یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y رابطه‌ای چون f از مجموعه X به مجموعه Y است که دارای شرایط زیر باشد:
1. دامنه f مجموعه X باشد، یعنی domf=X.
2. برای هر x∈X عنصر یگانه y∈Y موجود باشد که x,y)∈f) یا به عبارتی هیچ دو زوج مرتب متمایزی متعلق به f دارای مولفه اول یکسان نباشند. شرط یگانگی را به طور صریح می‌توان یه این صورت فرمول بندی کرد که اگر x,y)∈f) و x,z)∈f) آنگاه y=z.
علامت‌ها
برای هر x∈X یگانه عضو y در Y که به ازای آن x,y)∈f) را با (f(x نشان می‌دهیم. در مورد تابع این علامت گذاری، سایر علامت گذاری‌هایی را که در مورد روابط کلی تر استفاده می‌شوند چون x,y)∈f) یا xfy را متروک ساخته‌است. از این پس اگر f یک تابع باشد، بجای x,y)∈f) یا xfy می‌نویسیم (y=f(x. عضو y را مقدار تابع به ازای متغیر یا شناسه x، یا تصویر x تحت f می‌گوییم و نیز x را پیش نگاره y می‌گوییم.
اگر f تابعی از مجموعه X به(در یا به توی) مجموعه Y باشد، این مطلب را به صورت سه تایی (f,X,Y) یا به طور معمول تر برای توابع با f:X→Y نشان می‌دهیم.
مشخص کردن تابع
برای مشخص کردن یک تابع باید دامنه و ضابطه آن را بشناسیم. منظور از ضابطه یک تابع f:X→Y، فرمول و یا دستوری است که برطبق آن برای هر x∈X، مقدار تابع f در x یعنی (f(x تعیین می‌شود. ضابطه تابع را می‌توان به صورت یک گزاره جبری، مجموعه‌ای از زوجهای مرتب یا یک رابطه بازگشتی مشخص کرد.
به این ترتیب برای مشخص کردن یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y می‌نویسیم f:X→Y و سپس ضابطه آن را ذکر می‌کنیم.
در مواقعی که بیم ابهام نرود دامنه تابع ذکر نشده و به ذکر ضابطه تابع بسنده می‌شود. مثلاً عرف بر این است که در حساب دیفرانسیل و انتگرال دامنه توابع در صورت ذکر نشدن اعداد حقیقی یا بازه‌ای از اعداد حقیقی باشد.
برای نمایش بهتر، تابع را که خود یک هنجار (قاعده) برای تناظر است با f نشان می‌دهیم و ورودی یا شناسهٔ این تابع را با x نشان می‌دهیم که ممکن است عدد هم نباشد. یگانه مقدار خروجی که هنجار f به ورودی x نسبت می‌دهد را بجای y این‌بار با (f(x نشان می‌دهیم و آن را مقدار تابع f در x یا تصویر x تحت تابع f می‌گوییم. همچنین از این پس به هنجاری(قاعده‌ای) که هر x را به (y=f(x نسبت می‌دهد ضابطه تابع می‌گوییم.
نباید تابع را با ضابطهٔ آن اشتباه کرد. به عنوان مثال در مثال بالا f معرف خود تابع و گزاره (f(x معرف ضابطه تابع است.
دامنه و برد تابع
یک تابع f از مجموعه X به توی مجموعه Y را به عنوان نوعی رابطه از مجموعه X به Y تعریف کردیم. مفاهیم دامنه (تابع) و برد همانگونه که برای روابط در حالت کلی قابل تعریف‌اند، به طریق اولی برای تابع f نیز قابل تعریف خواهند بود. بنا به تعریف دامنه تابع f که با domf نموده می‌شود، همان مجموعه X است. برد تابع f نیز مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند. برد تابع f را با ranf یا Imf نشان می‌دهیم
اما همانطور که در گذشته نیز اشاره شد و از تعریف فوق نیز قابل برداشت است، برد f در حالت کلی لزوماً برابر مجموعه Y نمی‌باشد بلکه زیرمجموعه‌ای از آن است. برای تمایز بین مجموعه Y و برد تابع f به مجموعه Y همدامنه تابع f می‌گویند و آن را با codomf نشان می‌دهیم و بنا بر آنچه گفته شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدامنه‌اش هست.
به عنوان مثال فرض کنید {X={۱٬۲٬۳ و {Y={a,b,c,d و تابع f:X→Y به صورت {(f={(۱,a),(۲,b),(۳,c تعریف شده باشد. وضوحاً دامنه این تابع مجموعه X است(می‌توان برای تعیین آن مجموعه همه مولفه‌های اول زوجهای مرتب f را در نظر گرفت) ولی برد آن بنابه تعریف مجموعه {a,b,c} است که آشکارا زیرمجموعه حقیقی Y است.(یعنی زیرمجموعه آن است ولی با آن برابر نمی‌باشد)
در حقیقت برد تابع f مجموعه همه مولفه‌های دوم زوج مرتب‌های f است. مجموعه همه عناصری از Y که به ازای یکx∈X داشته باشیم (y=f(x.
تساوی دو تابع
فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند. در این صورت تساوی f=g، تساوی بین دو مجموعه است و لذا f=g اگر و فقط اگر اعضای f و g یکسان باشند. یا به عبارتی دو تابع f و g با هم برابرند اگر و تنها اگر دامنه‌شان با هم برابر باشد و برای هر x از دامنه مشترکشان، (f(x)=g(x.
تحدید و توسیع
فرض کنید f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت یک روش برای ساختن تابعی چون g از مجموعه A به مجموعه Y این است که برای هر g(x)، x∈A را مساوی (f(x تعریف کنیم. یعنی تابع g:A→Y با ضابطه (g(x)=f(x. بر خواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. ممکن است راه دیگری نیز برای بیان این مطلب بیابیم و آن این است که دامنه تابع f را به زیرمجموعه A از X تقلیل دهیم. در این صورت تابعی خواهیم داشت که این بار نه بر روی همه اعضای X بلکه فقط بر روی عناصر زیرمجموعه خاصی از X یعنی A اثر می‌کند و لذا دامنه آن از X به A تغییر می‌یابد. چنین تابعی را که همان g است تحدید تابع f به مجموعه A می‌گوییم و آن را با f|A یا f|A نشان می‌دهیم. با این نمادگذاری داریم g=f|A. همچنین تابع f را توسیع تابع g به مجموعه X می‌گوییم.
بنابراین مفاهیم تحدید و توسیع دو مفهوم متقابل به هم می‌باشند. تحدید یک تابع به زیرمجموعه‌ای از دامنه خود همواره یک تابع است اما توسیع دامنه یک تابع به یک مجموعه جدید که دامنه تابع قبل زیرمجموعه‌ای از آن است همواره تابع نمی‌باشد ولذا در مورد توسیع توابع احتیاط بیشتری لازم است. به طور کلی اگر f:A→Y یک تابع باشد توسیع تابع f به مجموعه X تابعی چون g با دامنه X است، به طوری که تحدید g به مجموعه A برابر تابع f باشد یعنی g|A=f.
هچنین می‌توان همدامنه یک تابع را نیز تحدید کرد البته در این کار احتیاط لازم است، چراکه نباید اعضایی را که متعلق به برد تابع است را حذف نمود. اما اگر f:X→Y یک تابع باشد، با تحدید Y به (f(X که همان برد تابع f است می‌توان تابع (f:X→f(X را تشکیل داد که پوشا نیز هست.
تصویر و تصویر معکوس
اگر f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد، ممکن است بخواهیم مجوعه‌ای را در نظر بگیریم که عناصر آن تصویر عناصر A تحت f می‌باشند. یعنی مجموعه‌ای که از تأثیر تابع f روی هر عضو مجموعه A حاصل می‌شود. چنین مجموعه‌ای را تصویر یا نگاره A تحت تابع f می‌گوییم و آن را با (f(A نشان می‌دهیم.بنابر این (y∈f(A اگر وفقط اگر به ازای y= f(x)، x∈A
به عنوان مثال اگر {X={۱٬۲٬۳٬۴٬۵ و {Y={a,b,c,d,e و f:X→Y به صورت:
{(f={(۱,a),(۲,b),(۳,c),(۴,d),(۵,d
تعریف شود و زیرمجموعه A از X به صورت {A={۱٬۳٬۴ در نظر گرفته شود در این صورت:
{f(A)={f(۱),f(۳),f(۴)}={a,c,d
حال چون X نیز یک زیرمجموعه‌ای از خودش است می‌توان (f(X را نیز تشکیل داد، که در این صورت بنا به تعریف داریم:
که عبارت است از مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند که بنابه تعریف همان برد تابع f یعنی ranf است. به این ترتیب برد f را می‌توان تصویر X تحت تابع f تعریف کرد.
اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای
بسیار اتفاق می‌افتند که مقدار یک تابع در سراسر دامنه‌اش با یک ضابطه مشخص نمی‌شود مثلاً ممکن است دامنه تابع f که آن را X می‌نامیم را به n مجموعه X۱,X۲,X۳,...,Xn افراز کنیم و تابع f با دامنه X را برای هر x∈Xi به صورت (f(x)=fi(x تعریف کنیم که در آن fi تابعی با دامنه Xi است.در این صورت f را تابعی با n ضابطه می‌گوییم.
در مثالی دیگر فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند که برای هر x متعلق به اشتراک X و Y (اشتراک دامنه f,g) داشته باشیم (f(x)=g(x برخواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. این مفهوم را می‌توان گسترش داد یعنی اگر خانواده‌ای از مجموعه‌های دو به دو جدا از هم باشد و برای هر fi,i∈I تابعی با دامنه Ai باشد، می‌توان تابع f، اجتماع توابع fi برای هر i∈I را با دامنه را به صورت برای هر x از دامنه به صورت(f(x)=fi(x اگر x∈Ai تعریف کرد. در ادامه نمونه‌هایی از توابع چند ضابطه‌ای را خواهید دید.
نمودار تابع
شکل1. نمودار پیکانی یک تابع
منظور از نمودار یک تابع f:X→Y به تصویر کشیدن تناظری است که f بین دو مجوعه X و Y ایجاد می‌کند. برای این کار برای همه روابط و بلاخص توابع عموماً از نمودار پیکانی استفاده می‌شود. برای رسم نمودار پیکانی تابع f:X→Y، دو منحنی بسته، نظیر آنچه در نمودار ون استفاده می‌شود را برای نمایش مجموعه X و Y انتخاب می‌کنیم و عناصر هر یک را به‌وسیله نقاطی در آنها مشخص می‌کنیم. سپس بین هر عضو x∈X و (f(x یک پیکان از x به (f(x به نشانه تناظر بین آن دو رسم می‌کنیم. به عنوان مثال اگر {X={۱٬۲٬۳٬۴٬۵ و {Y={a,b,c,d,e و f:X→Y به صورت {(f={(۱,a),(۲,b),(۳,c),(۴,d),(۵,d تعریف شده باشد نمودار پیکانی آن به صورت مقابل است.
شکل ۴. نمونه‌ای از نمودار یک تابع حقیقی در دستگاه مختصات دکارتی
این روش گرچه مناسب است ولی برای نمایش همه توابع بویژه توابعی با دامنه اعداد حقیقی(و به طور کلی توابعی که عددی هستند) چندان کاربرد ندارد. اگر f تابعی با دامنه اعداد حقیقی R باشد آن را تابع حقیقی می‌گوییم و برای نمایش نمودار آن از دستگاه مختصات دکارتی استفاده می‌کنیم و روش کار به این صورت است که برای هر x∈R زوج مرتب ((x,f(x) که نماینده نقطه‌ای در صفحه دکارتی است را رسم می‌کنیم و به این ترتیب نمودار تابع f حاصل می‌شود. رسم نمودار تابع، باعث می‌شود دیدی کلی نسبت به آن تابع پیدا کنیم و همچنین بسیاری از خواص مربوط به توابع بویژه توابع حقیقی مانند پیوستگی، مشتق پذیری، نقاط بحرانی و عطف، صعودی یا نزولی بودن و... از روی نمودار آنها قابل تعیین است. به عنوان مثال با بررسی شکل (۴) می‌توان گفت این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است، این تابع در سراسر دامنه خود پیوسته و مشتق پذیر است، دارای دو نقطه بحرانی و یک نقطه عطف است و....
همچنین از روی نمودار یک رابطه می‌توان تابع بودن آن را بررسی کرد. به عنوان مثال نمودار شکل (۱) معرف یک تابع نیست، زیرا عضو ۳ به دو مقدار متناظر شده‌است. همچنین در نمودار رسم شده در دستگاه دکارتی در شکل (۵)، برای هر عدد حقیقی مثبت x دو مقدار وجود دارد. به طور کلی یک نمودار در دستگاه مختصات دکارتی یک تابع است اگر هر خط عمودی مرسوم بر محور xها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.
اگر دامنه تابع f دارای بعد n و برد آن دارای بعد m باشد،نمودار تابع f دارای بعد n+m خواهد بود.
فضای توابع
اگر X و Y دو مجوعه باشند مجموعه همه توابع از مجموعه X به مجموعه Y را با YX نشان می‌دهیم.
عدد اصلی این مجموعه را نیز می‌توان به صورت زیر بدست آورد
card(YX) = (cardY)cardX
از رابطه فوق نتیجه می‌شود اگر X مجوعه‌ای n عضوی و Y مجموعه‌ای m عضوی باشد تعداد توابع قابل تعریف از مجوعه X به مجموعه Y برابر است با mn که البته برای اثبات این مسئله خاص راه حل ترکیباتی هم وجود دارد. توضیح اینکه اگر بخواهیم تابع f:X→Y را تعریف کنیم هر عضو از n عضو مجموعه X چون x∈X، را می‌توان به m طریق به یک عضو از مجموعه Y نسبت داد. پس بنا بر اصل شمارش تعریف چنین تابعی به mn طریق ممکن خواهد بود.
توابع دو (یا چند) متغیره
عباراتی چون f(x,y) = sin(xy) یا f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 را در نظر بگیرید. هر یک از آنها دو یا بیش از دو متغیر از دامنه می‌پذیرند و یک مقدار یگانه را به آنها نسبت می‌دهند. گاهی ممکن است تابع بجای یک شناسه دو یا چند شناسه را به بپذیرد و آنها را به یک عضو از برد خود نسبت دهد، در این صورت تابع را دو یا چند متغیره می‌گوییم. چنین توابعی رابطه‌ای بین بیش از دو مجموعه هستند. به عنوان مثال تابع اول را می‌توان تابعی به صورت f:R×R→R توصیف کرد که در این صورت تابع زوج (x,y) را به عنوان شناسه خود می‌پذیرد و آن را به عضوی از R نسبت می‌دهد که در این صورت اعضای تابع f را می‌توان به صورت سه تایی ((x,y,f(x,y) نشان داد
پیشینه
تابع به عنوان مفهومی در ریاضیات، توسط گوتفرید لایبنیتس در سال ۱۶۹۴، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک منحنی مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص به وجود آمد. امروزه به توابعی که توسط لایبنیز تعریف شدند.
واژه تابع بعدها توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x۳.
در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس بیشتر خواهان به وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.
در ابتدا، ایده تابع ترجیحاً محدود شد. ژوزف فوریه مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنه خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیستند این گونه توابع توسط وایراشتراس معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق‌پذیر محدود نشوند.
تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله و لوباچوسکی هر یک به طور مستقل همزمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.
بر طبق این تعریف، تابع حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه منحصر به فرد وجود دارد.
تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوری رایانه مطالعه می‌شود.
در سایر علوم
توابع در شاخه‌های مختلف علوم کاربرد فراوان دارند. برای مثال در فیزیک، هنگامی که می‌خواهیم رابطه بین چند متغیر را بیان کنیم، مخصوصاً هنگامی که مقدار یک متغیر کاملاً وابسته به متغیرهای دیگر است از توابع استفاده می‌شود.
توابع در علوم مختلف بیشتر به عنوان عملگر در نظر گرفته می‌شوند که کاری را بر روی ورودی‌های خود انجام می‌دهند. توابع را همچنین مورد استفاده در علم رایانه برای مدل‌سازی ساختمان داده‌ها و تأثیرات الگوریتم می‌بینیم.
.
No comments:
Post a Comment