شبيه سازي مكانيك حركت ماهواره ي دو چرخشي دوكي

نمونه سازي و شبيه سازي مكانيك حركت ماهواره ي دو چرخشي دوكي شكل در يك مدار شيب دار بيضوي: سرگذشت بررسي ماهواره ي پالاپا بي تو ار(Palapa B2R )

* چكيده :

در پاسخ به علاقه براي استفاده ي مجدد از ماهواره ي پالاپا بي تو ار در پايان عمر خودش يك نظر، شيب دادن به مدار ماهواره به منظور پوشش مناطق جديدي كه در سالهاي اخير پديدار شده است مي باشد .

پالاپا بي تو ار به عنوان يك وسيله ي دو چرخشي دوكي شكل بايد خودش را در برابر اثرات اتلاف انرژي دروني خودش تثبيت كند. اين كار بر تحليل حركت ماهواره ي قابل استفاده ي مجدد در مدار متمايلش متمركز ميشود .

بررسي به خصوصي، ثبات ماهواره ي دوچرخشي دوكي شكل را تحت اثرآشفتگي ميدان گرانش ناشي از انحراف مدار بيضوي اش مطرح مي كند .

داده هاي فيزيكي پالاپا بي تو ار در معادله ي حركت دو چرخشي جايگزين شد .

ضريب مداري همسازها j2 دوره ي گشتاور شيب گرانش را سبب مي شود كه بر حالت ماهواره اثر مي كند .

سپس حركت و حالت ماهواره در مزاحمت ميدان گرانشي j2 به همراه تغيير گريز از مركز و انحراف مدار شبيه سازي شد. تحليل حركت ماهواره و پايداري آن براي طراحي يك سيستم كنترل وسيله در مدار شيبدار جديد خودش هدايت مي كرد .


لغات كليدي: دو چرخشي – دوچرخشي دوكي شكل – شبيه سازي

* مقدمه :

يك بدنه ي نيمه جامد تنها زماني كه حول محور بزرگ خودش مي چرخد پايدار است. در يك بررسي مرتبط، بريسول و گريوت به اين نتيجه رسيدند كه چهار بازوي سيمي آنتن اكسپلورر 1 انرژي را اتلاف مي كرد، بنابراين عامل انتقال محور چرخش بدنه از كمينه سكون (كشيده شده) به يك محور متقاطع بيشينه ي سكون ( فشرده شده ) محسوب ميشد.

براي ديدن اين پايداري معيار بيشتر وسايل دو چرخشي پيشين در وضعيتي پهن شده در قطبين طراحي شده بودند .

بعنوان مثال: از بررسي اين كار، براي تحليل حركت وسيله داده هاي فيزيكي پالاپا بي تو ار استفاده شد .

پالاپا بي تو ار يك ماهواره ي ارتباطي اندونزي بود . در مدار خودش توسط PT Telcom ( شركت ارتباطات از راه دور كشور اندونزي) اداره مي شد . نزديك به زمان پايان عمر ماهواره چند كشور آفريقايي و پولينزيايي به خريدن و استفاده ي مجدد از پالاپا بي تو ار علاقه نشان دادند. بدليل موقعيت آن كشورها در عرض جغرافيايي جنوبي،

به اين نتيجه رسيدند كه مدار ماهواره بايد منحرف شود .

مقاله جاري تحليل حركت وسيله را در مدار انحرافي خودش شرح داده است.

2- سيستم مختصات مرجع :

2.1- سيستم مختصات بدنه ي مرجع (محورهاي بدنه)

( Fig. 1 )

در نوشته ها مفهوم سكو و محورهاي بدنه به خوبي تعريف شده است. شكل 1 محورهاي آنها را به همراه مبدا آنها در مركز ثقل ماهواره ماهواره نشان مي دهد در حاليكه شكل 2 محورها را در فضا نشان مي دهد. در اين مقاله اجزاي محورهاي سكو به عنوان سيستم مختصات مرجع يا محورهاي بدنه شناخته خواهند شد.

(Fig. 2 )

2.2- سيستم مختصات پايداري مرجع ( پايداري محورها) :

(Fig. 3 )

سيستم مختصات پايداري مرجع (پايداري محورها) به عنوان يك مجموعه از محورهاي افقي مكاني براي ماهواره تعريف شده است. اين يك محور نشانه براي محورهاي بدنه ي ماهواره به منظور متوجه ساختن آنتن هايش به سمت زمين است. تمام اين محورها در شكل3 نمايش داده شده اند.

2.3- سيستم مختصات ساكن مرجع ( محورهاي ساكن):

(Fig. 4 )



سيستم مختصات ساكن مرجع (محورهاي ساكن) به عنوان يك چهار چوب مرجع استوايي بدون چرخش زمين مركزي در جهت محور z1 تعريف شده است كه بر محور چرخش زمين منطبق مي شود و قطب شمال را نشان مي دهد. محور x1 در صفحه ي استوايي قرار مي گيرد و به سوي نقطه ي اعتدال بهاري اشاره مي كند. محور y1 يك قاعده دست راست مرجع دكارتي را كامل مي كند. در اين محور ساكن قوانين حركت نيوتن براي حركت انتقالي و چرخش ماهواره صحيح هستند.



3- زواياي اويلر ( زواياي جهت يابي)

3.1- جهت يابي محورهاي بدنه در محورهاي ساكن :

(Fig. 5 )



به منظور توصيف كردن رفتار ماهواره در رابطه با محورهاي ساكن (شكل 5 ) از زواياي اويلر استفاده شده است.

(Fig. 6 )



زاويه ي انحراف زاويه ي پرتاب وزاويه ي چرخش به ترتيب زاويه ي چرخشي در محورهايx,y,z از چهارچوب بدنه را در رابطه با موقعيت ظاهري خودش در محورهاي ساكن تعريف مي كنند. اين زوايا در شكل 6 نشان داده شده اند.

3.2- جهت يابي محورهاي بدنه در محورهاي پايداري :

(Fig. 7 )

زاويه هاي اويلر محورهاي بدنه در رابطه با محور هاي پايداري تعريف شده اند تا حالت آشفتگي از خطوط افقي مكاني (وضعيت ايستا يا ظاهري اش) را شرح بدهند. اگر ماهواره كامل منحرف شود آنتن از جهت گيري به سمت زمين خارج خواهد شد. زواياي اويلر هستند :

(Fig. 8 )

انحراف، پرتاب و زاويه ي انحراف گردش كه به ترتيب زاويه ي آشفتگي بدليل چرخش در محورهاي x,y,z چهارچوب بدنه در مقايسه با محورهاي پايداري را نشان مي دهند. اين زوايا در شكل 8 نشان داده شده اند.

4- گشتاور شيب گرانش :

اگراوال ( Agrawal )، مبيني براي گشتاور شيب گرانش در تقارن محوري فضاپيما بر مدار دايره شكل استوايي به همراه معادله زير بدست آورده است :

) Eq. 1 )

Fig. 9 ) )

در اين مقاله فضاپيما بعنوان وسيله اي غير متقارن محوري مورد بحث قرار خواهد گرفت .

در مجموع ماهواره در مدار بيضوي شيب دار بين مدار غير استوايي و غير دايره اي اداره خواهد شد.

همينطور محققان با پيروي و تركيب تكنيك هاي كاپلن (Caplan) و اگراوال دربدست آوردن معادله ي گشتاور شيب گرانش براي فضاپيما، معادله ي گشتاور شيب گرانش براي ماهواره دوچرخشي دوكي شكل در مدار بيضوي شيب دار خودش بدست آوردند .

نيروي گرانش ( dFg ) متناظر با چندين عنصر جرم، المان جرم، كه در شكل 9 نشان داده شده است برابر است با :

) Eq. 2 )

در جايي كه g بردار گرانش را مشخص مي كند در المان جرم توزيع جرم نامتقارن زمين يك ضريب همساز مداري سبب مي شود كه ميدان گرانشي يكنواخت زمين را آشفته مي كند . دراين كار پخش در قطبين توزيع جرم نامتقارن زمين سبب مي شود ضريب همساز مداري محدود به دسته دوم j2 شود. معادله ي بردار گرانش در يك نقطه از فضا هست :

) Eq. 3 )

در ازاء

e μ =پارامتر گرانش زمين

R فاصله از مركز زمين در نمادگذاري اسكالر و برداري

Rze ارتفاع اندازه گيري شده ي عمودي از صفحه ي استوايي زمين

Re : شعاع استوايي زمين

ادامه ي معادله ي گشتاور

) Eq. 4 )



در حاليكه وضعيت ديفرانسيل عامل جرم المان جرم در شكل 9 هست :

) Eq. 5 )

بنابراين با جايگزيني معادله ي 5 با R درمعادله 3 و نتيجه را در معادله ي 4 جايگزين كردن معادله ي 4 به اين صورت تغيير شكل مي دهد .

) Eq. 6 )

Fig. 10 ) )



استفاده از تكنيك اگراوال براي كار كردن با زواياي اويلر بين محور بدنه و محور پايداري ارائه مي دهد( همچنين شكل 8 را ببينيد) :

بسط دو جمله اي به كار رفته در معادله ي 6 و سپس معادله ي 7 گذاشته شده در نتيجه تا معادله ي گشتاور شيب گرانش بدست بيايد .بوسيله ي خطي سازي معادلات، معادلات خطي شده ي گشتاور شيب گرانش باز خواني مي شوند :

) Eq. 7 )

) Eq. 8 )

كه ضرايب sΦ و sθهستند :

) Eq. 9 )

و ضريب gμ هست :

) Eq. 10 )

متغير Rze مولفه ي وضعيت ماهواره در محور z زمين .عامل انحراف استنتاج شده در متغير rz1 چرا كه ارتفاع ماهواره در مدار شيب دار متغير هست. عامل گريز از مركز در متغير R نتيجه مي شود. براي e>0 ارزش R تنها در امتداد مدار متغير هست.

5- حركت مداري :

5.1- پارامترهاي مدار كپلري :

ستاره شناسي 6 كميت را براي شرح مدار و وضعيت جرم سماوي تعريف مي كند بنامهاي : a,e,I,ω,Ω,τ. تعريف آن پارامترها مي تواند در خيلي از كتابهاي درسي مكانيك مداري يافت شود .

شكل 12 هندسه ي پارامترهاي مداري را شرح مي دهد.

Fig. 11 ) )



5.2- معادله ي حركت مداري :

در شبيه سازي حركت مداري از ديفرانسيل عددي معادله در محورx1 محور y1 و محورz1 استفاده ميشود، چنانكه در ذيل آمده است :

( Eq. 11 )



معادله نتيجه گيري شده بوسيله ي شرح قانون دوم نيوتن در حركت و قانون گرانش نيوتن. براي شرح مدار ماهواره معادله ي 11 دوبار بوسيله ي 6 مقدار اوليه به وجود آمده است. شتاب اوليه Rx1.Ry1.Rz1 و 3 وضعيت اوليه Rx1.Ry1Rz1 زماني كه t=0 شتاب اوليه مي تواند بوسيله ي معادله ي بيان بشود:



و وضعيت اوليه مي تواند بوسيله ي معادله زير بيان شود :

( Eq. 12 )



( Eq. 13 )

با تبديل صورت ماتريس c و عناصرش چنانكه در ذيل امده است :

زمان شبيه سازي مدار ماهواره پارامترهاي مداري هستند :



و a0=8078.14km

براي مدار دايره اي R=1700KM بالاي سطح دريا براي مدار بيضي با خروج از مركز e=0.2 حضيض Rperigee=85km بالاي سطح دريا.



(Fig. 102 )



براي توضيح مدل فضا براي رفتار مكانيك حركت شتاب سنجش ماهواره كه عمود بر شعاع خودش بر زمين است Vθ مورد نياز خواهد بود .

Sin φ در شكل 10 به همراه گريز از مركز محور نيمه بزرگ شرح داده مي شود، چنانكه در ذيل آمده است :

(Eq. 14 )



با معادله ي 14 مولفه ي شتاب تتا جهت مي تواند بصورت زير تعيين بشود :

(Eq. 15 )



* 6 - مكانيك حركت ماهواره دو چرخشي دوكي شكل :

پالاپا بي تو ار يك ماهواره ي ارتباطي دوكي شكل ميباشد. به تعبير ديگر رفتار خودش و جهت مسير پالاپا بي تو ار را استوار مي كند و از چرخش به دور خود چرخيدن استفاده مي كند. بازرسي كنترل لحظه اي بوسيله ي شتاب زاويه اي و كاهش سرعت چرخش به دور خود روتور توليد شده است. بدليل حركت چرخش به دور خود روتور و وضعيت سكون ماهواره , حركت ماهواره در حالت انحرافي به حالت گردش خودش وصل مي شود. به علاوه بوسيله ي عدم تعادل وضعيت آنتن هاي بازتابنده ي ماهواره (Iyz) حركت ماهواره در حالت پرتابي به حالت انحرافي آن وصل مي شود.

6.1- معادله ي ديناميك حركت :

بريسون معادله ي حركت فضا پيما در تضعيف پيچش موثر دو چرخشي را ارائه داده است.

در اين كار نويسنده مقاله گشتاور شيب گرانش بعنوان يك گشتاورخارجي كه رفتار ماهواره را آشفته مي كند، جايگزين كرده است.

كاربرد تكنيك بريسون در حاصل تساوي تضعيف پيچش موثر دو چرخشي و چندين تغيير و تبديل نتايج كه نويسنده اضافه ميكند عبارتند از:

معادله ي ديناميك در محور X معادله ي 16:

(Eq. 16 )



معادله ي ديناميك محور Y معادله ي17:

(Eq. 17 )



معادله ي ديناميك محور z معادله ي 18:

(Eq. 18 )





6.2- معادلات ديناميك به همراه گشتاور شيب گرانش :

جانشيني Mx در معادله ي 16 به همراه Mgx در معادله ي 8 حاصلش معادله ي ديناميك در محور X در مدار بيضوي شيب دار

(Eq. 19 )

جايگزيني My در معادله ي 17 به همراه Mgy در معادله ي 8 حاصلش معادله ي ديناميك در محور Y در مدار بيضوي شيب دار

(Eq. 20 )

بالاخره جايگزيني Mz در معادله ي 17 به همراه Mgz در معادله ي 8 حاصلش معادله ي ديناميك در محور Z در مدار بيضوي شيب دار

(Eq. 21 )

6.3- سينماتيك معادله ي حركت :

6.3.1- سينماتيك معادلات در محورهاي ساكن :

(Fig. 113 )

بريسون نشان داده است كه معادله ي سينماتيك در ارتباط بين زاويه ي سرعت اويلر و شتاب زاويه اي مي تواند به صورت زير تقريب زده شود:

(Eq. 22 )



هر جا كهn = شتاب زاويه اي مداري .

اين معادلات سينماتيك منتج شده در محور ساكن بوسيله ي قوانين اول و دوم حركت نيوتن

6.3.2- معادلات سينماتيك در محورهاي ساكن :

در شروع شبيه سازي آنتن هاي ماهواره هنوز براي مدتي به سوي زمين نشانه رفته اند. بوسيله ي سكون ( قانون اول نيوتن در حركت ) رفتار ماهواره بر محور چرخش روتور با مقدار جمع شدن جمع ميشود كه برابراست با سرعت زاويه اي مداري تتا يا برابر است با مقدار اوليه ي n . n0 . بنابراين براي اندازه گيري انحراف محور پايداري معادله ي سينماتيك نياز دارد تا بوسيله ي اثرات محور افقي مكاني ( محور پايداري ) ساده شود. زاويه ي اوليه ي جمع شدن در رابطه با محور سكون مطابق تكنيك بايسون در منتج شدن معادله ي سينماتيك ، معادله ي سينماتيك دو چرخشي ماهواره در محور پايداري مي تواند به صورت ذيل نوشته شود:

(Eq. 23 )



6.4- حالت مدل فضايي دوك وار دو چرخشي :

تركيب معادله ي ديناميك مدار منحرف شده ي بيضوي و معادله ي سينماتيك دو چرخشي ماهواره در محور پايداري حالت مدل فضايي براي دوچرخشي ماهواره در محور پايداري را به دست ميدهد چنانكه در ذيل آمده است :

(Eq. 24 )



كه ماتريسهاي [A] و[B] به صورت ذيل هستند :

* 7- نتايج شبيه سازي پيچ خوردن آزاد و تفاسيرش:

مقادير عناصر ماتريس هاي [A],[B] در معادله ي 25 نشان داده شده است . مقادير A35 A14 ,A25 , و سيگماي n براي مدار شيب دار متغير با زمان خواهند بود. اگرچه عناصر [A] تنها براي مدار دايره اي در صفحه ي استوايي مقادير ثابت هستند:

(Eq. 25 )

7.1- شبيه سازي در جهت طول جغرافيايي :

7.1.1- اثرات گريز از مركز در مدار شيب دار ( i=30 )

(Fig. 124 )



Fig. 135 ) )



بعد از اينكه برانگيختگي اختلال به كار برده شد، گشتاور شيب گرانش باعث حالت فروكشي تا زمان افزايش گريز از مركز دسته كه حالت فرو نشست در حالت نوسان تناوبي دراز كه تناوبي مشابه تناوب مدار دارد، در مدار دايره اي مي شود. اين حالت نوسان تناوبي دراز از 20 تا 90 درجه بصورت انطباق تعداد زيادي حالت نوسان، نوسان مي كند .

7.1.2- اثرات انحراف در مدار بيضي :( e=0.2 )

(Fig. 146 )



(Fig. 157 )



اثرات افزايش انحراف در حالت حركت طول جغرافيايي براي ماهواره دو چرخشي ناچيز هست . براي انحراف در 0 , 30 و 60 درجه خط منحني ترسيمي براي θ تقريبا هم تراز شده بود .



7.2- شبيه سازي در شيوه ي افقي ( جانبي )

7.2.1- اثرات گريز از مركز در مدار انحرافي (i=30 )


(Fig. 18 )



(Fig. 16 )



بعد از اينكه برانگيختگي اختلال به كار برده شد گشتاور شيب گرانش باعث حالت گردش- ارتعاش براي φ مي شود كه از 3-^10*1 تا 3-^10*1- درجه نوسان مي كند . در مدار دايره اي اين حالت گردش – ارتعاش برايφ بعد 400+و400- ثانيه ميرا هست .در حاليكه در مدار بيضي دوري از مركز باعث شيوه ي تناوبي نوسانات دراز مي شود كه از 3-^10*4 تا 3-^10*4- درجه نوسان مي كند .

7.2.2- اثرات انحراف در مدار بيضي (e=0.2 )

(Fig. 170 )



(Fig. 18 )



اثرات افزايش انحراف در حالت حركت طول جغرافيايي براي ماهواره دو چرخشي ناچيز هست. براي انحراف در 0 , 30 و 60 درجه خط منحني ترسيمي برايφ هم ترازشده بود.

7.3- شبيه سازي در حالت جهتي ( هدايتي)

7.3.1- اثرات گريز از مركز در مدار انحرافي ( i=30 )

(Fig. 19 )

(Fig. 20 )

بعد از اينكه برانگيختگي اختلال به كار برده شد گشتاور شيب گرانش باعث حالت انحراف-ارتعاش براي sφ مي شود. در مدار دايره اي اين حالت انحراف-ارتعاش براي ψبعد از 400+و400- ثانيه ميرا ميباشد . در مدار بيضي گريز از مركز حالت نوسان تناوبي دراز را وادار مي كند تا از3-^10*1.5تا3-^10*1.5- درجه نوسان كند .

7.3.2- اثرات انحراف در مدار بيضي (e=0.2 )

(Fig. 21 )

(Fig. 22 )

اثرات افزايش انحراف در شيوه ي حركت طول جغرافيايي ناچيز هست براي دو چرخشي ماهواره. براي انحراف در 0 , 30 و 60 درجه خط منحني ترسيمي برايψ هم تراز شده بود .



* 8- بيان نتيجه گيري :

در شبيه سازي پيچ خوردن آزاد حالتهاي ارتعاش و نشست در حركت طول جغرافيايي افقي-جانبي جهتي –هدايتي ارائه مي شود. اگر چه، اگر شبيه سازي براي بيشتر از 4 دوره ي چرخشي ادامه پيدا كند ( يك دوره ي چرخشي 7225 ثانيه است ) در حركت افقي و جهتي گشتاور شيب گرانش باعث يك حالت واگرايي مي شود.

اثر گشتاور، شيب گرانش و بي ثباتي حركت جانبي و جهتي براي ماهواره دوچرخشي ميباشد. در مقابل اثرات گشتاور شيب گرانش حركت طول جغرافيايي را تثبيت مي كنند.

اثرات افزايش گريز از مركز مداري حضور حالت نوسان تناوبي دراز در طول جغرافيايي و جهتي جانبي حركت.

اثرات افزايش انحراف صفحه ي مدار مي تواند در حركت طول جغرافيايي ناديده گرفته شود. در حركت جهتي افقي افزايش انحراف باعث كاهش حالت خطاي مداوم sφو sψ خواهد شد.